Cours sur les Anneaux en Mathématiques

 

Introduction

Les anneaux sont des structures algébriques fondamentales en mathématiques, qui généralisent les propriétés des nombres entiers et des polynômes. Ils jouent un rôle crucial en algèbre, en géométrie, en théorie des nombres et dans diverses autres branches des mathématiques. Ce cours présente les concepts de base des anneaux, leurs propriétés, et quelques exemples importants.

Définition d'un Anneau

Un anneau est un ensemble $𝑅$ muni de deux opérations binaires : l'addition (+) et la multiplication (·), satisfaisant les axiomes suivants :

1. (R, +) est un groupe abélien :

   • Associativité : Pour tous $𝑎,𝑏,𝑐\in 𝑅$, $(𝑎+𝑏)+𝑐=𝑎+(𝑏+𝑐)$.
   • Élément neutre : Il existe un élément $0\in 𝑅$ tel que $𝑎+0=𝑎$ pour tout $𝑎\in 𝑅$.
   • Inverse additif : Pour chaque $𝑎\in 𝑅$, il existe un élément $-𝑎\in 𝑅$ tel que $𝑎+(-𝑎)=0$.
   • Commutativité : Pour tous $𝑎,𝑏\in 𝑅$, $𝑎+𝑏=𝑏+𝑎$.

2. (R, ·) est un semi-groupe :

   • Associativité : Pour tous $𝑎,𝑏,𝑐\in 𝑅$, $(𝑎\cdot 𝑏)\cdot 𝑐=𝑎\cdot (𝑏\cdot 𝑐)$.

3. Distributivité :

   • Distributivité à gauche : Pour tous $𝑎,𝑏,𝑐\in 𝑅$, $𝑎\cdot (𝑏+𝑐)=(𝑎\cdot 𝑏)+(𝑎\cdot 𝑐)$.
   • Distributivité à droite : Pour tous $𝑎,𝑏,𝑐\in 𝑅$, $(𝑎+𝑏)\cdot 𝑐=(𝑎\cdot 𝑐)+(𝑏\cdot 𝑐)$.

Types d'Anneaux

1. Anneau commutatif : Un anneau $𝑅$ est commutatif si la multiplication est commutative, c'est-à-dire, $𝑎\cdot 𝑏=𝑏\cdot 𝑎$ pour tous $𝑎,𝑏\in 𝑅$.

2. Anneau avec unité (ou anneau unitaire) : Un anneau $𝑅$ a un élément neutre pour la multiplication, noté $1$, tel que $𝑎\cdot 1=1\cdot 𝑎=𝑎$ pour tout $𝑎\in 𝑅$.

3. Corps : Un corps est un anneau commutatif avec unité où chaque élément non nul a un inverse multiplicatif, c'est-à-dire, pour chaque $𝑎\in 𝑅\setminus \{0\}$, il existe un $𝑏\in 𝑅$ tel que $𝑎\cdot 𝑏=𝑏\cdot 𝑎=1$.

4. Anneau intègre : Un anneau commutatif avec unité qui ne possède pas de diviseurs de zéro (si $𝑎\cdot 𝑏=0$ alors $𝑎=0$ ou $𝑏=0$).

Exemples d'Anneaux

1. Anneau des entiers ($\mathbb{𝑍}$) : L'ensemble des entiers avec l'addition et la multiplication habituelles est un anneau commutatif avec unité.

2. Anneau des polynômes ($\mathbb{𝑅}[𝑥]$) : L'ensemble des polynômes à coefficients réels est un anneau commutatif avec unité.

3. Anneau des matrices carrées (${𝑀}_{𝑛}(\mathbb{𝑅})$) : L'ensemble des matrices carrées $𝑛\times 𝑛$ à coefficients réels, avec l'addition et la multiplication matricielles, est un anneau non commutatif avec unité (la matrice identité).

Idéaux et Homomorphismes

1. Idéal : Un sous-ensemble $𝐼$ d'un anneau $𝑅$ est un idéal si :

   • $(𝐼,+)$ est un sous-groupe de $(𝑅,+)$.
   • Pour tout $𝑎\in 𝐼$ et $𝑟\in 𝑅$, $𝑟\cdot 𝑎\in 𝐼$ et $𝑎\cdot 𝑟\in 𝐼$.

2. Homomorphisme d'anneaux : Une application $𝑓:𝑅\to 𝑆$ entre deux anneaux $𝑅$ et $𝑆$ est un homomorphisme d'anneaux si :

   • $𝑓(𝑎+𝑏)=𝑓(𝑎)+𝑓(𝑏)$ pour tous $𝑎,𝑏\in 𝑅$.
   • $𝑓(𝑎\cdot 𝑏)=𝑓(𝑎)\cdot 𝑓(𝑏)$ pour tous $𝑎,𝑏\in 𝑅$.
   • $𝑓(1_{𝑅})=1_{𝑆}$ si $𝑅$ et $𝑆$ ont des éléments neutres pour la multiplication.

Conclusion

Les anneaux sont des structures essentielles en algèbre et en mathématiques en général. Ils fournissent un cadre unifié pour étudier des objets divers tels que les nombres entiers, les polynômes, et les matrices. Comprendre les propriétés et les concepts liés aux anneaux est fondamental pour progresser en mathématiques et pour apprécier la profondeur et la beauté de cette discipline.