Cours sur les Fonctions et la Dérivation

 

Introduction

En première bac, l'étude des fonctions et de la dérivation est essentielle pour comprendre les concepts fondamentaux de l'analyse. Ce cours couvre les notions de base des fonctions, les opérations sur les fonctions, ainsi que les principes et techniques de dérivation.

1. Les Fonctions

Définition

Une fonction $𝑓$ est une relation qui, à chaque élément $𝑥$ d'un ensemble de départ (appelé domaine), associe un élément unique $𝑓(𝑥)$ dans un ensemble d'arrivée (appelé codomaine).

Notation

• $𝑓:𝑥\mapsto 𝑓(𝑥)$
• Exemple : $𝑓(𝑥)=2𝑥+3$

Types de Fonctions

• Fonction linéaire : $𝑓(𝑥)=𝑚𝑥+𝑏$
• Fonction quadratique : $𝑓(𝑥)=𝑎{𝑥}^2+𝑏𝑥+𝑐$
• Fonction exponentielle : $𝑓(𝑥)=𝑎{𝑒}^{𝑘𝑥}$
• Fonction logarithmique : $𝑓(𝑥)=𝑎\ln (𝑥)+𝑏$

Propriétés des Fonctions

• Domaine : Ensemble des valeurs de $𝑥$ pour lesquelles $𝑓(𝑥)$ est définie.
• Image : Ensemble des valeurs prises par $𝑓(𝑥)$.
• Zéros : Valeurs de $𝑥$ pour lesquelles $𝑓(𝑥)=0$.

2. Opérations sur les Fonctions

Addition et Soustraction

• $(𝑓+𝑔)(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)$
• $(𝑓-𝑔)(𝑥)=𝑓(𝑥)-𝑔(𝑥)$

Multiplication et Division

• $(𝑓\cdot 𝑔)(𝑥)=𝑓(𝑥)\cdot 𝑔(𝑥)$
• $\left(\frac{𝑓}{𝑔}\right)(𝑥)=\frac{𝑓(𝑥)}{𝑔(𝑥)}$ (pour $𝑔(𝑥)\mathrm{\ne }0$)

Composition

• $(𝑓\circ 𝑔)(𝑥)=𝑓(𝑔(𝑥))$

3. La Dérivation

Définition

La dérivée d'une fonction $𝑓$ en un point $𝑥$ mesure la variation instantanée de $𝑓$ en ce point. La dérivée est notée ${𝑓}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)$ ou $\frac{𝑑𝑓}{𝑑𝑥}$.

Interprétation Géométrique

La dérivée d'une fonction en un point correspond à la pente de la tangente à la courbe de la fonction en ce point.

Règles de Dérivation

• Dérivée d'une constante : Si $𝑓(𝑥)=𝑐$, alors ${𝑓}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)=0$.
• Dérivée de $𝑥$ : Si $𝑓(𝑥)=𝑥$, alors ${𝑓}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)=1$.
• Dérivée d'une puissance : Si $𝑓(𝑥)={𝑥}^{𝑛}$, alors ${𝑓}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)=𝑛{𝑥}^{𝑛-1}$.
• Dérivée de la somme : Si $𝑓(𝑥)=𝑢(𝑥)+𝑣(𝑥)$, alors ${𝑓}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)={𝑢}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)+{𝑣}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)$.
• Dérivée du produit : Si $𝑓(𝑥)=𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)$, alors ${𝑓}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)={𝑢}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)𝑣(𝑥)+𝑢(𝑥){𝑣}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)$.
• Dérivée du quotient : Si $𝑓(𝑥)=\frac{𝑢(𝑥)}{𝑣(𝑥)}$, alors ${𝑓}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)=\frac{{𝑢}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)𝑣(𝑥)-𝑢(𝑥){𝑣}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)}{𝑣(𝑥{)}^2}$ (pour $𝑣(𝑥)\mathrm{\ne }0$).

Dérivées des Fonctions Usuelles

• Exponentielle : Si $𝑓(𝑥)={𝑒}^{𝑥}$, alors ${𝑓}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)={𝑒}^{𝑥}$.
• Logarithme : Si $𝑓(𝑥)=\ln (𝑥)$, alors ${𝑓}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)=\frac{1}{𝑥}$.
• Sinus et Cosinus :
  • Si $𝑓(𝑥)=\sin (𝑥)$, alors ${𝑓}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)=\cos (𝑥)$.
  • Si $𝑓(𝑥)=\cos (𝑥)$, alors ${𝑓}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)=-\sin (𝑥)$.

4. Applications de la Dérivation

Tangente à une Courbe

L'équation de la tangente à la courbe $𝑦=𝑓(𝑥)$ au point $(𝑎,𝑓(𝑎))$ est donnée par : $𝑦={𝑓}^{\mathrm{\prime }}(𝑎)(𝑥-𝑎)+𝑓(𝑎)$

Étude des Variations

Pour déterminer les variations d'une fonction $𝑓$, on examine le signe de sa dérivée ${𝑓}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)$ :

• ${𝑓}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)>0$ : $𝑓$ est croissante sur l'intervalle.
• ${𝑓}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)<0$ : $𝑓$ est décroissante sur l'intervalle.

Exemples

1. Exemple 1 : Dérivation Trouver la dérivée de $𝑓(𝑥)=3{𝑥}^2+2𝑥+1$. ${𝑓}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)=6𝑥+2$

2. Exemple 2 : Tangente Trouver l'équation de la tangente à la courbe $𝑦={𝑥}^2$ au point $(1,1)$. $𝑓(𝑥)={𝑥}^2,{𝑓}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)=2𝑥$ Au point $(1,1)$, ${𝑓}^{\mathrm{\prime }}(1)=2$ L'équation de la tangente est : $𝑦=2(𝑥-1)+1$ $𝑦=2𝑥-1$

Conclusion

Les concepts de fonctions et de dérivation sont essentiels en mathématiques pour analyser et comprendre le comportement des courbes. La maîtrise de ces notions permet de résoudre des problèmes variés et d'approfondir l'étude des