Cours sur les Nombres Complexes

 

Introduction

Les nombres complexes sont une extension des nombres réels permettant de résoudre toutes les équations polynomiales, y compris celles qui n'ont pas de solution réelle. Un nombre complexe est de la forme $𝑧=𝑎+𝑏𝑖$, où $𝑎$ et $𝑏$ sont des nombres réels et $𝑖$ est l'unité imaginaire, définie par ${𝑖}^2=-1$.

1. Forme Algébrique

Un nombre complexe $𝑧$ s'écrit sous la forme algébrique : $𝑧=𝑎+𝑏𝑖$

• $𝑎$ est la partie réelle de $𝑧$, notée $\mathrm{\Re }(𝑧)$.
• $𝑏$ est la partie imaginaire de $𝑧$, notée $\mathrm{\Im }(𝑧)$.

2. Conjugaison et Module

• Conjugué : Le conjugué d'un nombre complexe $𝑧=𝑎+𝑏𝑖$ est $\overline{𝑧}=𝑎-𝑏𝑖$.
• Module : Le module d'un nombre complexe $𝑧=𝑎+𝑏𝑖$ est défini par : $\mathrm{\mid }𝑧\mathrm{\mid }=\sqrt{{𝑎}^2+{𝑏}^2}$

3. Forme Trigonométrique

Un nombre complexe peut également être représenté en forme trigonométrique. Si $𝑧=𝑎+𝑏𝑖$, alors en utilisant les coordonnées polaires $𝑟=\mathrm{\mid }𝑧\mathrm{\mid }$ (module) et $𝜃$ (argument), on peut écrire : $𝑧=𝑟(\cos 𝜃+𝑖\sin 𝜃)$ où : $𝜃=\arg (𝑧)$ est l'argument de $𝑧$, l'angle en radians que fait le vecteur représentant $𝑧$ avec l'axe des réels.

4. Forme Exponentielle

Utilisant la formule d'Euler, la forme trigonométrique peut être réécrite sous forme exponentielle : $𝑧=𝑟{𝑒}^{𝑖𝜃}$ où : ${𝑒}^{𝑖𝜃}=\cos 𝜃+𝑖\sin 𝜃$

5. Opérations sur les Nombres Complexes

• Addition : $(𝑎+𝑏𝑖)+(𝑐+𝑑𝑖)=(𝑎+𝑐)+(𝑏+𝑑)𝑖$
• Soustraction : $(𝑎+𝑏𝑖)-(𝑐+𝑑𝑖)=(𝑎-𝑐)+(𝑏-𝑑)𝑖$
• Multiplication : $(𝑎+𝑏𝑖)(𝑐+𝑑𝑖)=(𝑎𝑐-𝑏𝑑)+(𝑎𝑑+𝑏𝑐)𝑖$
• Division : $\frac{𝑎+𝑏𝑖}{𝑐+𝑑𝑖}=\frac{(𝑎+𝑏𝑖)(𝑐-𝑑𝑖)}{{𝑐}^2+{𝑑}^2}=\frac{(𝑎𝑐+𝑏𝑑)+(𝑏𝑐-𝑎𝑑)𝑖}{{𝑐}^2+{𝑑}^2}$

6. Racines d'un Nombre Complexe

Pour trouver les racines $𝑛$-ièmes d'un nombre complexe $𝑧=𝑟{𝑒}^{𝑖𝜃}$, on utilise : ${𝑧}^{1\mathrm{/}𝑛}={𝑟}^{1\mathrm{/}𝑛}{𝑒}^{𝑖(𝜃+2𝑘𝜋)\mathrm{/}𝑛}\text{pour}𝑘=0,1,2,\dots ,𝑛-1$ Cela donne $𝑛$ racines distinctes.

7. Exemples

• Exemple 1 : Conjugaison Soit $𝑧=3+4𝑖$. Le conjugué de $𝑧$ est $\overline{𝑧}=3-4𝑖$.

• Exemple 2 : Module Pour $𝑧=3+4𝑖$, $\mathrm{\mid }𝑧\mathrm{\mid }=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$

• Exemple 3 : Forme Trigonométrique Pour $𝑧=3+4𝑖$, $𝑟=5,𝜃={\tan }^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)$ Donc, $𝑧=5(\cos (𝜃)+𝑖\sin (𝜃))$

• Exemple 4 : Multiplication Si ${𝑧}_1=1+𝑖$ et ${𝑧}_2=2-3𝑖$, ${𝑧}_1{𝑧}_2=(1+𝑖)(2-3𝑖)=2-3𝑖+2𝑖-3{𝑖}^2=2-𝑖+3=5-𝑖$

Conclusion

Les nombres complexes jouent un rôle crucial en mathématiques, en particulier dans la résolution des équations polynomiales et en analyse complexe. Leur représentation sous diverses formes (algébrique, trigonométrique, exponentielle) facilite les calculs et l'analyse de leurs propriétés.