La suite Cauchy

 Une suite

$({�}_{�})$ est dite suite de Cauchy si pour tout $�>0$, il existe un entier $�$ tel que pour tous les entiers $�,�\ge �$, on ait :

$\mathrm{\mid }{�}_{�}-{�}_{�}\mathrm{\mid }<�$

Autrement dit, les termes de la suite deviennent arbitrairement proches les uns des autres à partir d'un certain rang.

Propriétés importantes des suites de Cauchy :

1. Convergence : Dans un espace métrique complet, toute suite de Cauchy est convergente. Cela signifie que dans un tel espace, chaque suite de Cauchy a une limite dans cet espace.
2. Critère de Cauchy pour la convergence : Une suite est convergente si et seulement si elle est une suite de Cauchy.
3. Exemple en $\mathbb{�}$ : L'espace des nombres réels $\mathbb{�}$ est complet. Donc, toute suite de Cauchy dans $\mathbb{�}$ est convergente.

Exemple concret d'une suite de Cauchy :

Considérons la suite définie par ${�}_{�}=\frac{1}{�}$.

1. Montrons que $({�}_{�})$ est une suite de Cauchy :

Pour $�>0$, choisissons $�>\frac{2}{�}$. Pour tous $�,�\ge �$, nous avons :

$\mid \frac{1}{�}-\frac{1}{�}\mid =\mid \frac{�-�}{��}\mid \le \frac{\mathrm{\mid }�-�\mathrm{\mid }}{{�}^2}\le \frac{\mathrm{\mid }�-�\mathrm{\mid }}{{\left(\frac{2}{�}\right)}^2}=\frac{�\mathrm{\mid }�-�\mathrm{\mid }}{4}$

Puisque $�$ et $�$ sont des entiers, $\mathrm{\mid }�-�\mathrm{\mid }\ge 0$, et donc :

$\mid \frac{1}{�}-\frac{1}{�}\mid <\frac{�}{2}<�$

Ainsi, $({�}_{�})$ est une suite de Cauchy.

2. Convergence de $({�}_{�})$ :

Nous savons que $\frac{1}{�}\to 0$ quand $�\to \mathrm{\infty }$. Étant donné que $\mathbb{�}$ est complet, $({�}_{�})$ converge vers $0$.

Autre exemple : une suite en $\mathbb{�}$

Considérons la suite définie par ${�}_{�}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2^{�}}$.

Cette suite est également une suite de Cauchy dans $\mathbb{�}$ (les nombres rationnels) parce que :

${�}_{�+�}-{�}_{�}=\frac{1}{2^{�+1}}+\frac{1}{2^{�+2}}+\cdots +\frac{1}{2^{�+�}}$

et la somme de cette série géométrique est :

${�}_{�+�}-{�}_{�}=\frac{\frac{1}{2^{�+1}}(1-(\frac{1}{2}{)}^{�})}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2^{�}}(1-\frac{1}{2^{�}})<\frac{1}{2^{�}}$

Pour $�$ suffisamment grand, $\frac{1}{2^{�}}$ peut être rendu aussi petit que désiré, montrant que ${�}_{�}$ est une suite de Cauchy. Cette suite converge vers $2$ en $\mathbb{�}$, mais en $\mathbb{�}$, la suite ne peut pas converger vers un nombre irrationnel, démontrant l'importance de la complétude de l'espace pour la convergence des suites de Cauchy.

Ces exemples illustrent les concepts et les propriétés des suites de Cauchy, ainsi que leur comportement dans différents espaces métriques.

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