Cours sur les Limites pour le Tronc Commun

Introduction aux Limites

Les limites sont un concept fondamental en analyse mathématique et jouent un rôle crucial dans la compréhension des fonctions, des séries, et des dérivées. Elles permettent de décrire le comportement d'une fonction lorsque la variable d'entrée s'approche d'une certaine valeur.

Définition de la Limite

Limite finie :

Soit f(x) une fonction définie sur un intervalle ouvert autour de a, à l'exception peut-être de a lui-même. On dit que L est la limite de f(x) lorsque x tend vers a si, pour tout nombre ε > 0, il existe un nombre δ > 0 tel que pour tout x vérifiant 0 < |x - a| < δ, on ait |f(x) - L| < ε. On note alors :

lim_x→a f(x) = L

Limite infinie :

On dit que f(x) tend vers l'infini lorsque x tend vers a si, pour tout nombre M > 0, il existe un nombre δ > 0 tel que pour tout x vérifiant 0 < |x - a| < δ, on ait f(x) > M. On note alors :

lim_x→a f(x) = +∞

Limites de Fonction Usuelle

Certaines limites de fonctions sont particulièrement importantes et fréquemment utilisées :

• Fonction constante :
lim_x→a c = c
• Fonction identité :
lim_x→a x = a
• Fonction polynomiale :
lim_x→a P(x) = P(a)
• Fonction rationnelle :

Pour f(x) = P(x) / Q(x) avec P et Q des polynômes et Q(a) ≠ 0,

lim_x→a P(x) / Q(x) = P(a) / Q(a)

Propriétés des Limites

Les limites obéissent à plusieurs propriétés utiles :

• Linéarité :
lim_x→a [f(x) + g(x)] = lim_x→a f(x) + lim_x→a g(x)
lim_x→a [f(x) - g(x)] = lim_x→a f(x) - lim_x→a g(x)
• Produit :
lim_x→a [f(x) · g(x)] = lim_x→a f(x) · lim_x→a g(x)
• Quotient :

Si limx→a g(x) ≠ 0,

lim_x→a f(x) / g(x) = lim_x→a f(x) / lim_x→a g(x)
• Composition :

Si limx→a g(x) = L et limx→L f(x) = M,

lim_x→a f(g(x)) = M

Techniques de Calcul de Limites

1. Substitution directe : Si f est continue en a,
lim_x→a f(x) = f(a)
2. Factorisation : Pour simplifier une expression et éliminer une forme indéterminée.
3. Conjugaison : Utilisée principalement pour les limites impliquant des racines carrées.
4. Théorème de l'Hospital : Si limx→a f(x) = limx→a g(x) = 0 ou ±∞,
lim_x→a f(x) / g(x) = lim_x→a f'(x) / g'(x)

Limites et Continuité

Une fonction f est continue en a si :

1. f(a) est définie,
2. limx→a f(x) existe,
3. limx→a f(x) = f(a).

Exercices

1. Calculer les limites suivantes :
   • limx→2 (3x + 1)
   • limx→1 (x² - 1) / (x - 1)
   • limx→0 sin(x) / x
2. Déterminer si les fonctions suivantes sont continues en x = 1 :
   • f(x) = x²
   • g(x) = \begin{cases} x² & \text{si } x ≠ 1 \\ 3 & \text{si } x = 1 \end{cases}

Conclusion

Les limites sont essentielles pour l'analyse des fonctions et la compréhension de la continuité, des dérivées et des intégrales. La maîtrise des techniques de calcul des limites et des propriétés associées est fondamentale pour progresser dans l'étude des mathématiques avancées.