Cours sur les Matrices

$K$ désigne le corps $R$ ou $C$, $m,n,p$ sont des entiers strictement positifs.

Les matrices

• Une matrice à $n$ lignes et $p$ colonnes à coefficients dans $K$ est un tableau à double entrée$$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \dots & a_{1,p}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& \dots & a_{2,p}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n,1}& a_{n,2}& \dots & a_{n,p}\end{array}\right)$$aussi noté $A=(a_{i,j}{)}_{1\le i\le n,1\le j\le p}$ où les éléments $a_{i,j}$ appartiennent à $K$.
• On note $M_{n,p}\left(K\right)$ l'ensemble des matrices à $n$ lignes et $p$ colonnes. On définit la somme de deux matrices en ajoutant les coefficients termes à termes, et le produit d'une matrice par un scalaire $\lambda \in K$ en multipliant chaque coefficient de la matrice par $\lambda$. Muni de ces deux opérations, $M_{n,p}\left(K\right)$ est un espace vectoriel.
• La dimension de $M_{n,p}\left(K\right)$ est $np$. Une base de $M_{n,p}\left(K\right)$ est donnée par les matrices $(E_{i,j}{)}_{1\le i\le n,1\le j\le p}$, où tous les coefficients de la matrice $E_{i,j}$ sont nuls sauf celui de la $i$-ème ligne et de la $j$-ème colonne qui vaut 1. Cette base s'appelle la base canonique de $M_{n,p}\left(K\right)$.
• Si $n=p$, on dit que la matrice est carrée et on note simplement $M_n\left(K\right)$.
• Si $A=\left(a_{i,j}\right)\in M_{m,n}\left(K\right)$ et si $B=\left(b_{j,k}\right)\in M_{n,p}\left(K\right)$, on appelle produit de $A$ et $B$ la matrice notée $AB=\left(c_{i,j}\right)$ de $M_{m,p}\left(K\right)$ définie par$$c_{i,j}=\sum _{k=1}^n{a}_{i,k}{b}_{k,j}$$pour tout $i\in \{1,\dots ,m\}$ et tout $j\in \{1,\dots ,p\}$. Remarquons que pour que le produit $AB$ soit défini, il faut que le nombre de colonnes de $A$ soit égal au nombre de lignes de $B$. De plus, même si $AB$ et $BA$ sont tous les deux définis, on n'a pas toujours $AB=BA$.
• Une matrice $A=(a_{i,j}{)}_{1\le i,j\le n}$ est diagonale si $a_{i,j}=0$ dès que $i\ne j$. Le produit de deux matrices diagonales est une matrice diagonale.
• Une matrice $A=(a_{i,j}{)}_{1\le i,j\le n}$ est triangulaire supérieure si $a_{i,j}=0$ dès que $i>j$. Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire supérieure.
• Une matrice $A=(a_{i,j}{)}_{1\le i,j\le n}$ est triangulaire inférieure si $a_{i,j}=0$ dès que $i<j$. Le produit de deux matrices triangulaires inférieures est une matrice triangulaire inférieure.
• Muni du produit matriciel et de l'addition de matrices, $M_n\left(K\right)$ est un anneau. Son élément neutre est la matrice identité $I_n$, qui est la matrice diagonale n'ayant que des 1 sur sa diagonale.
• Si $A,B\in M_n\left(K\right)$ sont telles que $AB=BA$, alors$$(A+B{)}^n=\sum _{k=0}^n(\frac{n}{k})A^k{B}^{n-k}.$$
• On a $E_{i,j}{E}_{k,l}={\delta }_{j,k}{E}_{i,l}$.
• Une matrice $M\in M_n\left(K\right)$ est dite inversible s'il existe $M^{\prime }\in M_n\left(K\right)$ telle que$$M{M}^{\prime }=M^{\prime }M=I_n.$$$M^{\prime }$ s'appelle l'inverse de $M$ et est noté $M^{-1}$.
• L'ensemble des matrices inversibles de taille $n$ est noté $G{L}_n\left(K\right)$. C'est un groupe pour le produit matriciel appelé le groupe linéaire.
• En particulier, si $A$ et $B$ sont inversibles, alors $AB$ est inversible d'inverse $B^{-1}{A}^{-1}$.
• Si $A=\left(a_{i,j}\right)\in M_{n,p}\left(K\right)$, on appelle transposée de $A$ la matrice $A^T=\left(b_{i,j}\right)\in M_{p,n}\left(K\right)$ définie par$$b_{i,j}=a_{j,i}.$$On a les formules :$$(A+B{)}^T=A^T+B^T$$$$(AB{)}^T=B^T{A}^T.$$
• Produit par blocs : Soient $M,M^{\prime }$ deux matrices s'écrivant$$M=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right),M^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}{A}^{\prime }& B^{\prime }\\ C^{\prime }& D^{\prime }\end{array}\right).$$Alors, sous réserve de compatibilité des dimensions :$$M{M}^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}A{A}^{\prime }+B{C}^{\prime }& A{B}^{\prime }+B{D}^{\prime }\\ C{A}^{\prime }+D{C}^{\prime }& C{B}^{\prime }+D{D}^{\prime }\end{array}\right).$$

Matrices et applications linéaires

$E$, $F$ et $G$ désignent des espaces vectoriels de dimensions respectives $p,n,m$, dont $B=(e_i{)}_{1\le i\le p}$, $C=(f_i{)}_{1\le i\le n}$ et $D=(g_i{)}_{1\le i\le m}$ sont des bases respectives.

Soit $x\in E$. La matrice du vecteur $x$ dans la base $B$ est la matrice colonne $X\in M_{p,1}\left(R\right)$ constituée par les coordonnées de $x$ dans la base $B$ : si $x=a_1{e}_1+\cdots +a_p{e}_p$, alors$$X=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_p\end{array}\right).$$

Soit $(x_1,\dots ,x_r)\in E^r$ une famille de vecteurs de $E$. La matrice de la famille $(x_1,\dots ,x_r)$ dans la base $B$ est la matrice de $M_{p,r}\left(K\right)$ dont la $j$-ème colonne est constituée par les coordonnée de $x_j$ dans la base $B$.

Soit $u\in L(E,F)$. La matrice de $u$ dans les bases $B$ et $C$ est la matrice de $M_{n,p}\left(K\right)$ dont les vecteurs colonnes sont les coordonnées des vecteurs $\left(u\right(e_1),\dots ,u(e_p\left)\right)$ dans la base $C=(f_1,\dots ,f_n)$. On la note ${\text{Mat}}_{(B,C)}\left(u\right)$.

L'introduction de la matrice d'une application linéaire permet de connaitre facilement l'image d'un vecteur par cette application linéaire :

Proposition : Soit $x\in E$ de matrice $X$ dans la base $B$ et $y=u\left(x\right)$ de matrice $Y$ dans la base $C$. Alors on a$$Y={\text{Mat}}_{(B,C)}\left(u\right)X.$$

Théorème : L'application$$\begin{array}{ccc}L(E,F)& \to & M_{n,p}\left(K\right)\\ u& \mapsto & {\text{Mat}}_{(B,C)}\left(u\right)\end{array}$$est un isomorphisme d'espace vectoriel.

Théorème : La composée d'applications linéaires correspond au produit de matrices. Plus précisément, si $u\in L(E,F)$ et $v\in L(F,G)$, alors$${\text{Mat}}_{(B,D)}(v\circ u)={\text{Mat}}_{(C,D)}\left(v\right){\text{Mat}}_{(B,C)}\left(u\right).$$En particulier, l'application$$\begin{array}{ccc}L\left(E\right)& \to & M_{p,p}\left(K\right)\\ u& \mapsto & {\text{Mat}}_{(B,B)}\left(u\right)\end{array}$$est un isomorphisme d'anneaux.

Théorème : Si $E$ et $F$ ont même dimension, alors $u$ est un isomorphisme si et seulement si ${\text{Mat}}_{(B,C)}\left(u\right)$ est inversible. Dans ce cas, on a$${\text{Mat}}_{(C,B)}\left(u^{-1}\right)=[{\text{Mat}}_{(B,C)}\left(u\right){]}^{-1}.$$

Si $A\in M_{n,p}\left(K\right)$, alors $A$ induit une application linéaire $u_A:K^p\to K^n$ définie par $u_A\left(X\right)=AX$ où on identifie un vecteur de $K^p$ (resp. $K^n$) et le vecteur colonne formé des coordonnées de ce vecteur dans la base canonique. Le noyau, l'image, et le rang de $A$ sont alors par définition le noyau, l'image et le rang de l'endomorphisme associé. Le rang de $A$ est aussi le rang des vecteurs colonnes qui la compose.

Changements de base

$E,F$ sont des espaces vectoriels de dimension finie.

Soit $B_1$ et $B_2$ deux bases de $E$. La matrice de passage de la base $B_1$ à la base $B_2$ est la matrice de la famille de vecteurs $B_2$ dans la base $B_1$. On la note $P_{B_1\to B_2}$.

En interprétant $P_{B_1\to B_2}$ comme ${\text{Mat}}_{(B_2,B_1)}\left({\text{id}}_E\right)$, on démontre les faits importants suivants :

• La matrice $P_{B_1\to B_2}$ est inversible, d'inverse $P_{B_2\to B_1}$.
• Si $x\in E$ a pour coordonnées $X_1$ dans la base $B_1$ et pour coordonnées $X_2$ dans la base $B_2$, alors$$X_1=P_{B_1\to B_2}{X}_2.$$

Formule de changement de base pour les applications linéaires : Soit $u\in L(E,F)$, $B,B^{\prime }$ deux bases de $E$, $C,C^{\prime }$ deux bases de $F$. Alors, si l'on note $A={\text{Mat}}_{(B,C)}\left(u\right)$, $B={\text{Mat}}_{(B^{\prime },C^{\prime })}\left(u\right)$, $P=P_{B\to B^{\prime }}$, $Q=P_{C\to C^{\prime }}$, on a$$B=Q^{-1}AP.$$En particulier, si $u$ est un endomorphisme, si $A={\text{Mat}}_{(B,B)}\left(u\right)$, $B={\text{Mat}}_{(B^{\prime },B^{\prime })}\left(u\right)$, $P=P_{B\to B^{\prime }}$, alors$$B=P^{-1}AP.$$

Deux matrices $M$ et $M^{\prime }$ de $M_{n,p}\left(K\right)$ sont dites équivalentes si elles représentent la même application linéaire dans des bases différentes. Autrement dit, $M$ et $M^{\prime }$ sont équivalentes si et seulement s'il existe $P\in G{L}_p\left(K\right)$ et $Q\in G{L}_n\left(K\right)$ telles que$$M^{\prime }=Q^{-1}MP.$$

Théorème (caractérisation des matrices équivalentes) : Deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles ont le même rang. De plus, si $M\in M_{n,p}\left(K\right)$ a pour rang $r$, $M$ est équivalente à la matrice $J_r\in M_{n,p}\left(K\right)$ dont tous les coefficients sont nuls, sauf les $r$ premiers de la diagonale qui valent 1.

En particulier, si $u\in L(E,F)$ est de rang $r$, il existe une base $B$ de $E$ et une base $C$ de $F$ telle que ${\text{Mat}}_{(B,C)}\left(u\right)=J_r$.

Corollaire : Soit $M\in M_{n,p}\left(K\right)$. Alors $M$ et $M^T$ ont le même rang.

Théorème (caractérisation du rang) : Une matrice $A\in M_{n,p}\left(K\right)$ est de rang $r$ si et seulement si :

1. Il existe une matrice carrée d'ordre $r$ extraite de $A$ qui est inversible;
2. Toute matrice carrée extraite de $A$ d'ordre $r+1$ n'est pas inversible.

Deux matrices $M,M^{\prime }\in M_n\left(K\right)$ sont dites semblables s'il existe $P\in G{L}_n\left(K\right)$ tel que $M^{\prime }=P^{-1}MP$. Autrement dit, $M$ et $M^{\prime }$ représentent le même endomorphisme dans des bases différentes.

Trace d'une matrice

Si $A\in M_n\left(K\right)$, on appelle trace de $A$, notée $\text{Tr}\left(A\right)$, la somme des coefficients diagonaux de $A$. La trace est une forme linéaire sur $M_n\left(K\right)$.

Proposition : Soit $A,B\in M_n\left(K\right)$. Alors

• $\text{Tr}\left(AB\right)=\text{Tr}\left(BA\right)$.
• Si $A$ et $B$ sont semblables, alors $\text{Tr}\left(A\right)=\text{Tr}\left(B\right)$.

Si $u\in L\left(E\right)$, alors on appelle trace de $u$ la trace de la matrice représentant $u$ dans n'importe quelle base de $E$.

Proposition : Soit $u,v\in L\left(E\right)$.

• $\text{Tr}\left(uv\right)=\text{Tr}\left(vu\right)$.
• La trace d'un projecteur est égale à son rang.

Opérations, systèmes linéaires

• On appelle opération élémentaire sur les lignes d'une matrice l'une des trois opérations suivantes :
  1. permuter deux lignes $L_i$ et $L_j$;
  2. multiplier une ligne $L_i$ par un scalaire $\lambda$ non nul;
  3. ajouter un multiple d'une ligne $L_j$ à une autre ligne $L_i$.
  On définit de même des opérations élémentaires sur les colonnes.
• Les opérations élémentaires sur les lignes correspondent à la multiplication à gauche par une matrice inversible. Les opérations élémentaires sur les colonnes correspondent à la multiplication à droite par une matrice inversible.
• Les opérations élémentaires transforment une matrice en une matrice équivalente. En particulier, elles conservent le rang. Ainsi, pour calculer le rang d'une matrice, on effectue une suite de transformations élémentaires l'amenant à une matrice du type $J_r$.
• Soit $A\in G{L}_n\left(K\right)$. Il existe une suite d'opérations élémentaires sur les lignes de $A$ transformant $A$ en $I_n$. Les mêmes opérations élémentaires effectuées sur les lignes de $I_n$ transforment $I_n$ en $A^{-1}$.
• Un système linéaire à $n$ équations et $p$ inconnues s'écrit matriciellement $AX=B$, avec $A\in M_{n,p}\left(K\right)$, $X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_p\end{array}\right)$ et $B$ la matrice du second membre.
• Si $B=0$, l'ensemble des solutions est un sous-espace vectoriel de $K^p$ de dimension $p-\text{rg}\left(A\right)$. Dans le cas général, l'ensemble des solutions est ou bien vide, ou bien un sous-espace affine de $K^p$ de dimension $p-\text{rg}\left(A\right)$.
• Si $n=p$, on dit que le système est carré. L'équation $AX=B$ admet alors une solution unique si et seulement $A$ est inversible. Dans ce cas, la solution est $X=A^{-1}B$.