L'Expérience et la Variance d'une Variable Aléatoire en Probabilité

Introduction

En probabilité et en statistiques, l'expérience et la variance sont des concepts clés pour comprendre la distribution d'une variable aléatoire. L'espérance (ou moyenne) est une mesure de la tendance centrale d'une variable aléatoire, tandis que la variance mesure la dispersion de ses valeurs autour de la moyenne.

1. L'Espérance (ou Moyenne) d'une Variable Aléatoire

L'espérance $E(X)$ d'une variable aléatoire $X$ est définie comme la valeur moyenne de $X$ si l'on répétait une expérience un grand nombre de fois. Elle est calculée différemment selon que $X$ est discrète ou continue.

• Variable Aléatoire Discrète :

  $$E(X) = \sum_{i} x_i P(X = x_i)$$

  où $x_i$ sont les valeurs possibles de $X$ et $P(X = x_i)$ est la probabilité que $X$ prenne la valeur $x_i$.

• Variable Aléatoire Continue :

  $$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx$$

  où $f(x)$ est la fonction de densité de probabilité de $X$.

2. La Variance d'une Variable Aléatoire

La variance $\text{Var}(X)$ mesure la dispersion des valeurs de $X$ autour de leur moyenne. Plus la variance est grande, plus les valeurs de $X$ sont étalées. La variance est définie comme l'espérance du carré de l'écart entre $X$ et son espérance :

$$\text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2]$$

Pour une variable aléatoire discrète :

$$\text{Var}(X) = \sum_{i} (x_i - E(X))^2 P(X = x_i)$$

Pour une variable aléatoire continue :

$$\text{Var}(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(X))^2 f(x) \, dx$$

3. Exercices Appliqués

Exercice 1 : Variable Aléatoire Discrète

Soit $X$ une variable aléatoire discrète qui prend les valeurs 1, 2, 3 avec des probabilités respectives de 0,2, 0,5 et 0,3. Calculer l'espérance et la variance de $X$.

Solution :

$$E(X) = 1 \cdot 0,2 + 2 \cdot 0,5 + 3 \cdot 0,3 = 0,2 + 1 + 0,9 = 2,1$$ $$\text{Var}(X) = (1 - 2,1)^2 \cdot 0,2 + (2 - 2,1)^2 \cdot 0,5 + (3 - 2,1)^2 \cdot 0,3$$ $$= (1,1)^2 \cdot 0,2 + (-0,1)^2 \cdot 0,5 + (0,9)^2 \cdot 0,3$$ $$= 1,21 \cdot 0,2 + 0,01 \cdot 0,5 + 0,81 \cdot 0,3$$ $$= 0,242 + 0,005 + 0,243 = 0,49$$

Exercice 2 : Variable Aléatoire Continue

Soit $X$ une variable aléatoire continue ayant pour densité de probabilité $f(x) = 2x$ pour $x$ compris entre 0 et 1. Calculer l'espérance et la variance de $X$.

Solution :

Pour l'espérance :

$$E(X) = \int_{0}^{1} x \cdot 2x \, dx = \int_{0}^{1} 2x^2 \, dx$$ $$= \left[ \frac{2x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{2}{3}$$

Pour la variance :

$$E(X^2) = \int_{0}^{1} x^2 \cdot 2x \, dx = \int_{0}^{1} 2x^3 \, dx$$ $$= \left[ \frac{2x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{2}$$ $$\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{1}{2} - \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{1}{2} - \frac{4}{9} = \frac{9}{18} - \frac{8}{18} = \frac{1}{18} = \frac{1}{18}$$

Conclusion

L'espérance et la variance sont des concepts fondamentaux en probabilité qui permettent de comprendre la distribution d'une variable aléatoire. L'espérance donne une idée de la valeur centrale, tandis que la variance mesure l'étalement des valeurs autour de cette moyenne. Les exercices ci-dessus illustrent le calcul de ces mesures pour des variables discrètes et continues, montrant l'importance de ces concepts dans l'analyse des données.

N'hésitez pas à adapter cet article pour votre blog, et à ajouter des exemples supplémentaires pour approfondir la compréhension de ces concepts !