Les Nombres Complexes - 2ème Bac

Les Nombres Complexes

Les nombres complexes sont une extension des nombres réels qui inclut des solutions aux équations qui n'ont pas de solution dans l'ensemble des réels, comme x² + 1 = 0. Un nombre complexe est de la forme z = a + bi, où :

• a est la partie réelle de z.
• b est la partie imaginaire de z.
• i est l'unité imaginaire, définie par i² = -1.

Opérations sur les Nombres Complexes

Pour deux nombres complexes z₁ = a + bi et z₂ = c + di, les opérations sont définies comme suit :

• Addition : z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d)i
• Multiplication : z₁ × z₂ = (ac - bd) + (ad + bc)i
• Conjugué : Le conjugué de z = a + bi est z̅ = a - bi.
• Module : Le module de z est |z| = √(a² + b²).

Exercices d'Application

Exercice 1

Soit z₁ = 3 + 4i et z₂ = 1 - 2i. Calculez :

• a) z₁ + z₂
• b) z₁ × z₂
• c) Le module de z₁

Afficher la solution

• a) z₁ + z₂ = (3 + 1) + (4 - 2)i = 4 + 2i
• b) z₁ × z₂ = (3 × 1 - 4 × -2) + (3 × -2 + 4 × 1)i = 11 - 2i
• c) |z₁| = √(3² + 4²) = √25 = 5

Exercice 2

Soit z = 5 - 12i. Trouvez :

• a) Le conjugué de z
• b) Le module de z

Afficher la solution

• a) Le conjugué de z = 5 - 12i est 5 + 12i
• b) |z| = √(5² + (-12)²) = √(25 + 144) = √169 = 13

Exercice 3

Résolvez l'équation suivante dans l'ensemble des nombres complexes : z² + 4 = 0.

Afficher la solution

On a : z² = -4

Donc z = ±√(-4) = ±2i

Les solutions sont z = 2i et z = -2i.